Đề thi học sinh giỏi cấp huyện. vòng 2 năm học: 2012 – 2013. môn thi: Toán 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

 (Đề gồm 1 trang)

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG 2

 NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 

Bài 1: (2.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau: 

 	Rút gọn .

 Tính giá trị của khi .

 Chứng minh: 

Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình

	a. Cho . Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

 . 

b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 

Bài 3: (2.0 điểm)

a. Cho các số nguyên dương: sao cho:

N = chia hết cho 30.

Chứng minh: M = chia hết cho 30.

b. Cho thỏa mãn: . Chứng minh: 

Bài 4: ( 2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh . Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng DA tại E. Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F. Diện tích tứ giác ACFE là 3.

a. Chứng minh: N là trung điểm AB.

b. Tính CF theo 

Bài 5: (1,5 điểm) 

Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định. Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C. Gọi G là trọng tâm tam giác MBC. Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.

Hết./.

Họ và tên thí sinh....SBD.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN

Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang

Bài

Ý

	Nội dung cần đạt	

Điểm

1.

2.0

a

1,0

ĐK: 

0.25x4

b

0.5

0.25

0.25

c.

0.5

Dấu “=” xẩy ra khi: ; mà không thuộc TXĐ

Vậy 

0.25

0.25

2.

2.0 

 2a.

1.0

Giá trị biểu thức bằng 2. không phụ thuộc giá trị của x

0.25x4

2b.

1.0

 là số nguyên lẻ

Mà 

HS tìm rồi thay vào tìm để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); 

(-4; 1); (-4; -1)

0.25

0.25

0.25

0.25

3.

2.0

3a.

1.0

- HS lập luận: chia hết cho 6. vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp. 

- HS lập luận: chia hết cho 5. (Chia các trường hợp để xét: )

Mà (5; 6) = 1 nên 

Xét tương tự và suy ra được: 

Hay - 

Theo giả thiết: 

0,25

0.25

0.5

3b.

1.0

Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

0,25

0,5

0.25

4a

1,5đ 

Gọi độ dài BN = b ( Với 0 < b < a)

C/m được: CBF = CDE (g-c-g) CF = CE (1)

Vì AN // DC nên áp dụng Talet: 

Suy ra: DE = EA + AD = + a 

Áp dụng định lý Py ta go vào ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra 

2SACEF = +

Do đó SACEF = 3SABCD = 3a2 

 a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b

Vậy điểm N trung điểm của AB

0,5

0,5

0,5

4b

1,0

Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = 2 + 

0,5x2

5.

1,5

 Lấy N trung điểm BC. Trên NO lấy H sao cho (1). 

(O) cố định, BC cố định nên H cố định.

Theo tính chất trọng tâm: (2)

Từ (1) và (2): 

 H cố định 

 Vậy G chạy trên đường tròn (H; R/3)

0.5

0.25

0,25

0,5