Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015 – 2016 môn: Toán 6

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016

m¤N: TOÁN 6

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (5,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức: . 

b) Tìm số nguyên x, biết: . 

c) Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.

Bài 2: (4,0 điểm) 

a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. 

 b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.

Bài 3: (4,0 điểm)

 	a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: . 

 	b) Chứng minh rằng: Nếu thì . 

Bài 4: (5,0 điểm)

	Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM.

 a) Tính BN khi BM = 2cm. 	

 b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho . Tính .

	c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.

Bài 5: (2,0 điểm)

a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?

b) Tìm số tự nhiên n biết: , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.

 Họ và tên thí sinh: ................................................................................................................

 Số báo danh: .................................................Phòng....................................................

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 6

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Bài 1 (5,0 điểm) 

a) Tính giá trị biểu thức: 

b) Tìm số nguyên x, biết:. 

c) Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.

Câu

Nội dung

Điểm

a)

1.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

b)

1.5đ

0.5đ

0.5đ

 . 

0.5đ

c)

2.0đ

Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.

+) Ta có 

0.5đ

0.5đ

 +) Ta có 

0.5đ

 + Suy ra S chia hết cho 10. 

0.5đ

Bài 2: (4,0 điểm) 

a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. 

 b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.

Câu

Nội dung

Điểm

a)

2.0đ

Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử

0.5đ

Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

 a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, (1)

Ta có (2)

0.5đ

Từ (1) và (2) suy ra ta chọn các cặp số nguyên tố cùng nhau m, n có tổng bằng 9 và như sau:

0.75đ

m

n

a

b

1

8

18

144

2

7

36

126

4

5

72

90

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90

0.25đ

b)

2.0đ

+ Với p = 2 p + 2 và p + 4 là các hợp số. 

 p = 2 không thỏa mãn

0.5đ

+ Với p = 3 p + 2 = 5 là số nguyên tố

 p + 4 = 7 là số nguyên tố

 p = 3 thỏa mãn

+ Với p là số nguyên tố và p > 3 

 p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 

0.5đ

* Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 33 và p + 2 > 3

 p + 2 là hợp số (trái với đề bài) 

* Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 63 và p + 4 > 3

 p + 4 là hợp số (trái với đề bài)

0.5đ

 Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.

0.5đ

Bài 3 (4,0 điểm)

 	a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: 

 	b) Chứng minh rằng: Nếu thì 

Câu

Nội dung

Điểm

a)

2.0đ

Điều kiện 

Vì 

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Do hoặc (vì )

 Với c = 1 suy ra a = 8

0.5đ

 Với c = 2 suy ra a = 9 

Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1

b)

2.0đ

Ta có: 

0.5đ

 = 

0.5đ

Do và theo bài ra 

0.5đ

Suy ra: 

0.5đ

Bài 4 (5,0 điểm): 

	Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM.

 a) Tính BN khi BM = 2cm. 	

 b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho . Tính .

	c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.

Câu

y

A

M

N

)

x

B

400

Nội dung

Điểm

Vẽ hình

0.5đ

a)

1.0đ

Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB

0.5đ

AM + 2 = 5 AM = 3 cm

Có AN = AM AN = 3 cm 

Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B

0.5đ

BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm

b)

2.0đ

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: 

0.5đ

hay 

0.5đ

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có và là hai góc kề bù . 

0.5đ

hay 

0.5đ

c)

1.5đ

Vì BN = AB + AN = 5 + AN

 Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất

0.5đ

Mà AN = AM BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất

0.5đ

 Có AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B.

0.5đ

Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.

Bài 5 (2,0 điểm):

 a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?

 b) Tìm số tự nhiên n biết: , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.

Câu

Nội dung

Điểm

 a)

1.0đ

Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng

0.5đ

Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: đường thẳng 

0.5đ

Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 

3 – 1 = 2 đường thẳng. 

Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng) 

b)

1.0đ

Nếu n là số ít hơn 4 chữ số suy ra và 

(không thỏa mãn)

Vì n không có 5 chữ số

 Vậy n có 4 chữ số. 

Suy ra S(n) 

Vì nên hoặc 

+) Với 

 (1)

 Vì 11a = 106 – 2b 106 – 2.9 = 88

 và 

 , thay a = 8 vào (1) được b = 9

+) Tương tự suy ra c = 0 và d = 7

 Vậy số cần tìm là 1989 hoặc 2007. 

1.0đ

 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. 

 *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. 

 *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.