Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối 6

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN -Mụn: Toỏn 6

Bài 1 (4 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:

 1) 

 2) 

Bài 2 ( 4 điểm): 1) Cho 

Chứng minh rằng C chia hết 21 và C chia hết 105

2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiờn là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.

Bài 3 ( 4 điểm):1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì được d là 5 và chia cho 13 thì được d là 4.

2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết:	

Bài 4 (2 điểm): Cho và Tính tỉ số: 

Bài 5 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC có . Điểm E nằm giữa B và C sao cho . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho , tia Ax cắt BC ở F.

 a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của .

 b) Gọi AI là tia phân giác của . Chứng minh AI cũng là tia phân giác của .

Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: 

So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3.....n; 

ĐỀ II

Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phộp tớnh (tớnh hợp lý nếu cú thể)

 a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16	 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]}

Bài 2: (1,0điểm) M cú là một số chớnh phương khụng nếu: M = 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) (Với n N , n 0)

Bài 3:(1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) 2 b / Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp khụng chia hết cho 4 

Bài 4: (1,0điểm) So sỏnh A và B biết: A = , B = 

Bài 5: (2,0điểm) Tớm tất cả cỏc số nguyờn n để: a) Phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn

 b) Phõn số là phõn số tối giản

Bài 6: (2,5điểm) Cho gúc xBy = 550.Trờn cỏc tia Bx, By lần lượt lấy cỏc điểm A, C (A B, CB). Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho gúc ABD = 300 

 a/ Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm	 b/ Tớnh số đo gúc DBC

 c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho gúc DBz = 900. Tớnh số đo ABz. 

Bài 7: (1,0điểm) Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn x , y sao cho: (2x + 1)(y – 5) = 12

ĐỀ IIIBài 1: (4,0 điểm) 1) Tớnh giỏ trị biểu thức: 

 18 chữ số 0

2) Tỡm số tự nhiờn x, biết: 

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1

 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyờn tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyờn tố thỡ 4p + 1 là hợp số?

Bài 3: (4,0 điểm) 	1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thỡ chia hết cho 27.

 2) Tỡm số tự nhiờn n cú 4 chữ số biết rằng n là số chớnh phương và n là bội của 147.

Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia OA vẽ cỏc tia OB, OC sao cho . Gọi OM là tia phõn giỏc của . 	a) Tớnh .

b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phõn giỏc của .

 2) Trờn nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ cỏc tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: ; ; ; ...; . Tỡm số n nhỏ nhất để trong cỏc tia đó vẽ cú một tia là tia phõn giỏc chung của 2017 gúc.

Bài 5: (2,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất để cỏc phõn số sau đều tối giản. 

ĐỀ IV

	Cõu 1. a. So sỏnh 22013 và 31344	b. Tớnh A = 

Cõu 2. a. Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất, biết rằng số đú khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, cũn chia cho 7 thỡ dư 3.	 b. Tỡm hai số tự nhiờn biết tổng ƯCLL và BCNN của chỳng bằng 23

c. Tỡm số tự nhiờn x; y biết chia hết cho 45

Cõu 3. a. Tỡm biết: 2 + 4 + 6 +  + 2x = 156 	 b. Tỡm số nguyờn n để P = là số nguyờn

c. Tỡm số tự nhiờn n để phõn số M = đạt giỏ trị lớn nhất. Tỡm giỏ trị lớn nhất đú.

Cõu 4. Cho đường thẳng xy. Trờn xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung điểm của AB. a,Tớnh IC ? 

b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc khụng cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong cỏc đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. 

ĐỀ V

Cõu 1. (4 điểm)a) Thực hiện phộp tớnh: 

b) Tỡm x biết: 1) - 2) 

c. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tổng BCNN và ƯCLN của chúng là 15

d. Tỡm x nguyờn thỏa món: 

Cõu 2. (4 điểm) a. Thực hiện phộp tớnh: 

b. Tỡm cỏc số nguyờn n sao cho: n2 + 5n + 9 là bội của n + 3

c. Chứng minh rằng bỡnh phương của một số nguyờn tố khỏc 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1

d. Tỡm x, y nguyờn sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0 

Cõu 3. (4 điểm)

a) Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. 

b) Tỡm 3 số cú tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và số thứ 2 bằng số thứ 3.

c. Tỡm số tự nhiờn a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: 

d. Tỡm hai số biết tỉ số của chỳng bằng 5 : 8 và tớch của chỳng bằng 360.

Cõu 4. (5 điểm)1. a) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trờn tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trờn tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. Hóy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tớnh IK.	

b) Trờn tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đụi độ dài BD. Tỡm độ dài cỏc đoạn BD; AC.

2. Trên nữa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo xOy = 700 và số đo yOz = 300.	a) Xác định số đo của xOz

b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA). 

 Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB.

Cõu 5. ( 3 điểm) a, Chứng minh rằng: 32 + 33+ 34 ++ 3101 chia hết cho 120.

b. Cho hai số a và b thỏa món: a – b = 2(a + b) = 	Chứng minh a = -3b ; Tớnh ; Tỡm a và b

c. Tỡm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0

ĐỀ VII

Cõu 1. a. Cho ; 

Tớnh tớch: .

b. Chứng tỏ rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng: chia hết cho ớt nhất 3 số nguyờn tố.

Cõu 2. Khụng tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức. Hóy so sỏnh:

 và ; 	b. 98 . 516 và 1920

Cõu 3. a. Tỡm biết: b. Tỡm số nguyờn để phõn số cú giỏ trị là số nguyờn.

c. Tỡm số tự nhiờn a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 5 thỡ dư 3, a chia cho 7 thỡ dư 4.

Cõu 4. Cho gúc bẹt xOy, trờn tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trờn tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. 

a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho . Tớnh số đo .

Bài

ý

Nội dung

Điểm

Bài 1

(4 điểm)

1

2,0 điểm

Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 = 504 nhóm

0,5

0,25

A = 4 + 4 + 4 + .. + 4 (tổng có 504 số 4)

0,5

A = 4. 504

0,25

A = 2016

0,5

Vậy A = 2016

2

2,0 điểm

0,5

0,5

Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên tích mang dấu âm

0,5

0,5

B = - 25

Vậy B = - 25

Bài 2 (4điểm)

1

Cho 

Chứng minh rằng C 21 và C 105

2,0

điểm

Chứng minh C 21

0,75

Ta có:

Do đó: 

0,25

0,25

0,25

Chứng minh C 105

1,25 điểm

Chứng minh C 5

0,75

Do đó: 

0,25

0,25

0,25

Ta có và mà (5 ; 21 ) = 1

Do đó hay 

0,5

2

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.

2,0 điểm

Gọi số tự nhiên đó là P (P 0)

Nếu P = 1 ta có 1 = 12 P là số chính phơng

0,5 

Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P = 

(với a, b, ... , c là các số nguyên tố)

Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1)

Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ

 x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ

 x, y , ... , z đều là các số chẵn

Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t

Nên P = 

 P là số chính phơng

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.

0,25

Bài 3

(4điểm)

1

Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.

2,0 điểm

Gọi số tự nhiên đó là a

Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q N )

Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) 7

 a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) 13

0,25

0,5

Ta có a + 9 7 và a+ 9 13 mà (7 ; 13) = 1

Do đó a + 9 7. 13 hay a + 9 91

0,5

Vậy a + 9 = 91.k (với k N )

 a = 91.k – 9 = 91.k – 91 + 82 = 91.(k-1) + 82

0,5

Nên a chia cho 91 có số d là 82.

0,25

2

Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết: 

2,0 điểm

Ta có: 

0,5

 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)

Nên ta có bảng sau

0,25

x + 5

5

1

-5

-1

y-1

1

5

-1

-5

x

0

-4

-10

-6

y

2

6

0

-4

0,75

Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4)

0,5

Bài 4

2 điểm

Cho và 

Tính tỉ số: 

2,0 điểm

1

Ta có 

0,75 

0,75

2

Ta có 

Vậy tỉ số 

0,5

Bài 5

4 điểm

Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao cho góc BAE = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho góc CAx = 300, tia Ax cắt BC ở F.

a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của góc EAF.

c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của góc EAF.

x

B

I

300

A

300

F

E

C

1

2,0

điểm

Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C

Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC

Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC

 300 + góc EAC = 1200

 góc EAC = 1200 – 300 = 900

Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B

Ta có: góc CAF = 300 

 góc CAE = 900

 góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900)

Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE

Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E

0,75

0,5

0,25

 góc CAF + góc FAE = góc CAE

 300 + góc FAE = 900

 góc FAE = 600 

0,5

2

2,0

điểm

Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC

Nên góc BAI = góc CAI = 

*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B

Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600)

Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI

 góc CAF + góc FAI = góc CAI

 300 + góc FAI = 600

 góc FAI = 300

*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B

Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300

 góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)

Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE

Hơn nữa góc FAI = góc FAE (vì )

Do đó AI là phân giác của góc FAE.

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 6 

2 điểm

Cho biểu thức 

So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3..n

2,0

điểm

Ta có 

Ta thấy 

Do đó 

Vậy D < 6

0,5

0,5

0,5

0,5

ĐỀ II Bài 1: (1,0 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

a

 = 16(123+ 321 - 44):16 

0,25

 = 400 

0,25

b

 =8.125-3.{400-[673-8.50]} 

0,25

 = 1000-3.{400-273} 

 =619	

0,25

Bài 2: (1,0 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

 M = 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) (Với n N , n 0) 

Tớnh số số hạng = (2n-1-1): 2 + 1 = n 

0,5

Tớnh tổng = (2n-1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2 

KL: M là số chớnh phương 

0,5đ

Bài 3: (1,5 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

a

 Ta cú: 

 3100 = 3.3.3.3 (cú 100 thừa số 3)

 = (34)25 = 8125 cú chữ số tận cựng bằng 1 

 19990 = 19.1919 (cú 990 thứa số 19) 

 = (192)495 = 361495 (cú chữ số tận cựng bằng 1 

 Vậy 3100+19990 cú chữ số tận cựng bằng 2 nờn tổng này chia hết cho 2 

0,25

0,25

0,5

b

 Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a) 

 Ta cú: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 

 Vỡ 4a 4; 6 khụng chia hết 4 nờn 4a+ 6 khụng chia hết 4 

0,25

0,25

Bài 4: (1,0 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

 Vỡ A = < 1 A= < = = = B

 Vậy A < B

0,75

0,25

Bài 5: (2,0 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

a

 là số nguyờn khi (n+1) (n-2)

 Ta cú (n+1) = 	

 Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)	 

 (n-2) Ư(3) = 	

 => n 

0.5

0,5

b

 Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (dN*) 

0,25

 (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d = 1 

0,5đ

 Vậy phõn số đó cho tối giản 

0,25

Bài 6: (2,5 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

a

b

 Vẽ hỡnh đỳng

 TH1 TH2

Vỡ D thuộc đoạn thẳng AC nờn D nằm giữa A và C:

 AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm

Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 

Ta cú đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD

 =550 – 300 = 250

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

c

Xột hai trường hợp:

 - Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phớa nửa mặt phẳng cú bờ là AB nờn tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD

Tớnh được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600

 - Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cựng nửa mặt phẳng cú bờ là AB nờn tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

 Tớnh được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 7: (1,0 điểm)

í/Phần

Đỏp ỏn

Điểm

 (2x+ 1); (y - 5) là cỏc ước của 12 

0,25

 Ư(12) = 

0,25

 Vỡ 2x + 1 là lẻ nờn:

 2x + 1= 1 x=0 , y =17 

 2x + 1= 3 x=1 , y=9 

 Vậy với x = 0 thỡ y = 17; Với x = 1 thỡ y = 9 

0,25

0,25

ĐỀ III

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài 1 (4,0 điểm) 

1) Tớnh giỏ trị biểu thức: . 

2) Tỡm số tự nhiờn x, biết: . 

Cõu

Nội dung

Điểm

a)

2.0đ

Ta cú : 

 = 

0.5đ

 = 

0.5đ

Suy ra A = 

0.5đ

Rỳt gọn 

0.5đ

b)

2.0đ

0.5đ

0.5đ

Suy ra: 

0.5đ

Giải ra x = 5

0.5đ

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1

 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyờn tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyờn tố thỡ 4p + 1 là hợp số?

Cõu

Nội dung

Điểm

a)

2.0đ

Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3)

0.5đ

Suy ra: và 

 và 

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1

b)

2.0đ

+ Vỡ p là số nguyờn tố, p > 3 

 4p khụng chia hết cho 3

0.5đ

Ta cú 4p + 2 = 2 (2p + 1) 

Theo bài ra p > 32p + 1> 7 và là số nguyờn tố 2p + 1 khụng chia hết cho 3. Suy ra 4p + 2 khụng chia hết cho 3 

0.5đ

Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn tồn tại một số chia hết cho 3 do đú 4p + 1 chia hết cho 3.

0.5đ

Vỡ 4p + 1 > 13 nờn 4p + 1 là số tự nhiờn lớn hơn 1 và cú nhiều hơn 2 ước.

Suy ra 4p + 1 là hợp số.

0.5đ

Bài 3 (4,0 điểm)

 1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thỡ chia hết cho 27.

 	2) Tỡm số tự nhiờn n cú 4 chữ số biết rằng n là số chớnh phương và n là bội của 147. 	

Cõu

Nội dung

Điểm

a)

2.0đ

Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thỡ chia hết cho 27

0.5đ

 Thật vậy: 

 Mà và 

0.5đ

0.5đ

Từ đú suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thỡ số đú bằng a. nờn số đú chia hết cho 27.

0.5đ

b)

2.0đ

Vỡ n là số tự nhiờn cú 4 chữ số nờn 

0.5đ

 Theo bài ra n là bội của 147 nờn n = 147.k = 72.3k 

Do n là số chớnh phương nờn khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố thỡ lũy thừa cỏc thừa số nguyờn tố phải cú số mũ chẵn suy ra 

0.5đ

Để n là số chớnh phương thỡ m là số chớnh phương 

0.5đ

Suy ra cỏc số tự nhiờn cần tỡm là: 1764; 3969; 7056.

0.5đ

Bài 4: (6,0 điểm)

	1) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia OA vẽ cỏc tia OB,OC sao cho . Gọi OM là tia phõn giỏc của . 

 a) Tớnh .	

 b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phõn giỏc của .

 2) Trờn nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ cỏc tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: ; ; ; ...; . Tỡm số n nhỏ nhất để trong cỏc tia đó vẽ cú một tia là tia phõn giỏc chung của 2017 gúc.

Cõu

Nội dung

Điểm

Vẽ hỡnh

C

M

B

O

ˆ

A

ˆ

N

0.5đ

a)

2.0đ

Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA cú (800 < 1200)

0.5đ

Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

Vỡ OM là tia phõn giỏc của 

0.5đ

Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia OB cú 

(200< 1200) nờn tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

0.5đ

0.5đ

b)

2.5đ

Vỡ OM và ON là hai tia đối nhau nờn hai gúc và là hai gúc kề bự.

0.5đ

0.5đ

Suy ra ( vỡ cựng bằng 800) (1)

0.5đ

Vỡ hai tia OM và ON nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là tia OA nờn tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)

0.5đ

Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phõn giỏc của 

0.5đ

c)

1.0đ

Trờn nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ cỏc tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: ; ; ; ...; 

0.5đ

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thỡ lỳc đú là tia phõn giỏc chung của 2017 gúc: 

0.5đ

Bài 5 (2,0 điểm):Tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất để cỏc phõn số sau đều là số tối giản. 

Cõu

Nội dung

Điểm

 a)

2.0đ

Cỏc phõn số đó cho đều cú dạng: , vỡ cỏc phõn số này đều tối giản nờn n + 2 và a phải là hai số nguyờn tố cựng nhau. 

0.5đ

Như vậy n + 2 phải nguyờn tố cựng nhau với lần lượt cỏc số 7; 8; 9; ...; 100 và n + 2 phải là số nhỏ nhất.

0.5đ

n + 2 là số nguyờn tố nhỏ nhất lớn hơn 100.

0.5đ

 n + 2 = 101n = 99 

0.5đ

ĐỀ IV

Cõu

í

Nội dung

Điểm

Cõu 1

a

22013 = (23)671 = 8671 ; 31344= (32)672 = 9672

Ta cú 8 < 9; 671 < 672 nờn 8671< 9672 hay 22013 < 31344

0.5

0.5

b

A = = 

==

0.5

0.5

Cõu 2

a

Gọi số tự nhiờn đú là a, ta cú a = BC(3; 4; 5; 6) + 2. Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180; 240; 

Nờn a nhận cỏc giỏ trị 62; 122; 182; 242 .

 Mặt khỏc a là số nhỏ nhất chia cho 7 thỡ dư 3 nờn a = 12

0,25

0,5

0.25

b

Gọi hai số tự nhiờn đú là a ; b ( a ; b N) Gọi d = ƯCNL(a ; b) ta cú : a = a’.d ; b = b’.d (a’ ; b’) =1

Khi đú BCNN(a ; b) = = = a’.b’.d

Theo bài ra ta cú : ƯCLN(a ; b) + BCNN (a ; b) = 23 nờn d + a’.b’.d = 23 = d (1 + a’.b’) = 23 

Nờn d =  1; 1 + a’b’ =23 suy ra a’b’ = 22 mà (a’ ; b’) = 1 nờn a’ = 1 ; b’ = 22 hoặc a’ = 11; b’ = 2 và ngược lại. Từ đú HS tỡm được a và b.

0.25

0,25

0.25

c

vỡ chia hết cho 45 = 5 . 9 nờn y = 0 hoặc y =5 

*) Nếu y = 0 ta cú chia hết cho 9 nờn 3 + 2 + x + 1 chia hết cho 9 nờn x = 3

*) Nếu y = 5 ta cú chia hết cho 9 nờn 3 + 2 + x + 1 + 5 chia hết cho 9 nờn x = 7

Vậy số cần tỡm là hoặc 

0.5

0.25

0.25

Cõu 3

a

2 + 4 + 6 + + 2x = 156 2( 1 + 2 + + x) = 156

2.=156 x( x + 1) =156 = 12.13 ( vỡ x và x + 1 là hai số tự nhiờn liờn tiếp) nờn x = 12

0.25

0.5

b

P = = 

Để P Z thỡ n - 1 là ước của 1 nghĩa là n - 1 = 1 hoặc n - 1 = -1 nờn n = 2 hoặc n = 0

0, 5

0,25

c

M = = 

*) Nếu n 1 thỡ M < 

*) Nếu n > 1 thỡ M > . Khi đú để M đạt giỏ trị lớn nhất thỡ 2(2n – 3) đạt giỏ trị dương nhỏ nhất khi đú n = 2 . GTLN của M = khi n = 2

0.5

0.25

Cõu 4

TH1. B ; C nằm cựng phớa với nhau so với điểm A 

HS tớnh được IC = b - 

0.75

TH2. B; C nằm khỏc phớa so với điểm A.

HS tớnh được IC = b + 

0.75

b

*) TH 1: Nếu cả 4 điểm cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thỡ đường thẳng xy khụng cắt cỏc đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. 

*) TH 2: Nếu cú 3 điểm (giả sử M ; N ; P) cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng cũn 1 điểm Q nằm khỏc phớa bờ là đường thẳng xy thỡ đường thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ. 

*) TH 3: Nếu cú 2 điểm ( giả sử M ; N ) cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng cũn 2 điểm (P ; Q) nằm khỏc phớa bờ là đường thẳng xy thỡ đường thẳng xy cắt 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ.

0.5

0.5

0,5

ĐỀ V

 HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6

Cõu

Phần

Nội dung

Điểm

Cõu 1

(4 điểm)

a

2đ

Ta cú: .

1

0,5

0,5

b

2đ

 (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750

=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750

=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750

 101 . 50 + 100 x = 5750

 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 

 100 x = 700 x = 7

0.5

0.5

0.5

0.5

Cõu 2

( 4 điểm )

a

2đ

Ta cú: 

0.5

0.5

1

b

2đ

S =(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+...+ (3)2015.

3S = (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + ....+(3)2015]

 = (3)1+ (3)2+ ....+(3)2016]

3S – S = [(3)1 + (3)2+...+(3)2016] - (3)0-(3)1-...-(3)2015.

2S = (3)2016 -1. S = 

0,5

0,5

0,5

0,5

Cõu 3

(4 điểm)

a

2đ

 Gọi số cần tỡm là a ta cú: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19.

 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19. 

 (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19. 

Do a là số tự nhiờn nhỏ nhất nờn a+27 nhỏ nhất

 Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) . 

Từ đú tỡm được : a = 809

0.5

0.5

0.5

0.5

b

2đ

Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 

 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai)

Số thứ hai bằng: (số thứ hai)

Tổng của 3 số bằng: (số thứ hai) = (số thứ hai)

Số thứ hai là : 210 : = 66; số thứ nhất là: . 66 = 63; số thứ 3 là:.66 = 81

0.5

0.5

0.5

0.5

Cõu 4

(6 điểm )

a

4đ

1) Trờn tia BA ta cú BK = 2 cm. BA = 7cm nờn BK< BA do đú điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trờn tia AB cú điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nờn điểm I nằm giữa A và K

 2,5

2) Do I nằm giữa A và K nờn AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5 – 4 = 1.

1,5

b

2đ

Vỡ A nằm giữa B và C nờn BA +AC = BC BA +AC = 4 (1)

Lập luõn B nằm giữa A và D.

Theo gt OD < OA ị D nằm giữa O và A. 	 

Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm

Ta cú DB + BA = DA DB +BA = 3 (2) 	 	 

Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3) 	

Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)

Ta cú 2BD – BD = 1 ị BD = 1 	 

 AC = 2BD ị AC = 2 cm	 

0,5

0,5

0,5

0,5

Cõu 5

( 2 điểm )

Ta cú 32 + 33+ 34+ + 3101

= (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)++ (398 + 399 + 3100 + 3101)

= 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) ++397(3+32+33+34)

= 31.120 + 35.120 ++397.120

= 120(31 + 35 ++397)120 (đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

ĐỀ VI

Cõu

ý

Nội dung cần đạt

Điểm

Cõu 1

(2,5 đ)

a

 - 32.56 - 32.25 - 32.19 = - 32(56 + 25 + 19)

= - 32(56 + 25 + 19) = - 32( 100) = - 3200

1,0

b

 = 

= = 30

1,0

c

= = = 

0,5

Cõu 2

(2,0 đ)

a

 4 – 2(x + 1) = 2 4 – 2x – 2 = 2 x = 0

1,0

b

1,0

Cõu 3