Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 7 năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán

TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,5 điểm)

Tính giá trị của biểu thức: 

Tìm x, biết: 

Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: 

 (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 

Câu 2: (4,5 điểm) 

 1) Tìm các số x, y, z biết: và 

 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 0.

 3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 

Câu 3: (5,0 điểm)

 1) Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :

	 và af – be = 1 Chứng minh : d ≥ b + f

 2) Cho ,. So sánh với .

Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I. 

Chứng minh rằng: DM = EN.

Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN.

Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra điểm O cố định.

Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng .

	 .............. Hết.............

 MÔN THI: TOÁN

Câu 

Hướng dẫn

Điểm

Câu1: 

4,5đ

1) (1,5đ)	 

1,5

2) (1,5đ) Ta có: 

1,5

3) (1,5đ) Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y nên

(x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 . Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 

Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y = 

Khi đó M = 44.

0,5

0,25

0,5

0,25

Câu2: 

4,5đ

1) (1,5đ) Từ 

Vậy: 

Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.

0,5

0,5

0,5

(1,5đ) Từ (x - 2)(x + ) > 0 suy ra x – 2 và x + cùng dấu.

Dễ thấy x – 2 < x + nên ta có:

x – 2 và x + cùng dương x – 2 > 0 x > 2.

x – 2 và x + cùng âm x + < 0 x < - 

 Vậy x > 2 hoặc x < - .

0,25

0,5

0,5

0,25

3)(1,5đ) Ta có 

Do đó: 9 x 14 vì x nguyên nên 

0,5

0,5

0,5

Câu3: 

(5.0đ)

1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014

(Vì x + y = 0)

1,5

2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p (0) = d 5.

p (1) = a + b + c + d 5 (1)

p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d)5 và 2(a + c)5 . 

 Vì 2(b + d)5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d 5 suy ra b5.

p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b5. nên 8a + 2c 5,

kết hợp với 2(a + c)5 suy ra 6a 5 suy ra a 5 vì (6,5) = 1. từ đó c 5.

Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

3)(1,5đ) Đặt 

Ta có (1)

Lại có 

Từ (1) và (2) suy ra 

Do đó: 

0,25

0,5

0,25

0,5

Câu4: 

(4,5đ)

1) (1,5đ)

Tam giác ABC cân tại A nên (đối đỉnh)

Do đó: 

1,5

2) (1,5đ)Ta có 

Vì BD = CE nên BC = DE .

Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN

Suy ra BC < MN.

0,5

0,5

0,5

3)(1,5đ) Ta chứng minh được: 

Lại có: BM = CN, do đó 

, Mà: suy ra , 

mà đây là hai góc kề bù nên COAN.

Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 

0,5

0,25

0,5

0,25

Câu5: 

(1,5đ)

Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE. Ta có 

 (cạnh huỳen – góc nhon). Suy ra: AF = CH.

suy ra AF = CG.

Từ đó ta có CH = CG.

Mà 

Do đó: (1)

Măth khác: (2)

lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: 

Mà nên .

0,25

0,5

0,5

0,25

Giải: d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cf – ed )

 ≥ f.1 + b.1 = f + b

Chú ý: 

Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.