Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 – 2016 môn Toán lớp 6

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU

ĐỀ CHÍNH THỨC

TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn toán lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2điểm) 

a). Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)

b). Tính tổng: A = 

Câu 2 (2điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 +  + 580 . Chứng tỏ rằng: 

a). M chia hết cho 6.

b). M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2 điểm) 

a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.

b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên.

Câu 4 (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho 

a). Tính và 

b). Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?

c). Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 (1điểm) Chứng minh rằng : +++...+< 1

--------------- HẾT -----------------

ĐÁP ÁN

Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a). 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)

= 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 

= 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 

= 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94)

= 16 +27.100 - 7. 100

= 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016

b). A = 

Ta có 

Tương tự: ; ......; 

Þ A = = 

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a). Ta có: M = 5 + 52 + 53 +  + 580 

= 5 + 52 + 53 +  + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +... + (579 + 580) 

= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + ... + 578(5 + 52) 

= 30 + 30.52 + 30.54 + ... + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + ... + 578) 30

b). Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 +  + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.

Mặt khác, do: 52+ 53 +  + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)

Þ M = 5 + 52 + 53 +  + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)

Þ M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52

Þ M không phải là số chính phương.

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d Î N

Þ n + 3 d và 2n + 5 d

Þ (n + 3) - (2n + 5) d Þ 2(n + 3) - (2n + 5) d Û 1 d Þ d = 1 Î N

Þ ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1 

Þ ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 Þ là phân số tối giản.

b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên.

Ta có: = = 2 - 

Để B có giá trị nguyên thì nguyên. 

Mà nguyên 1 (n +3) hay n +3 là ước của 1. 

Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4 ; - 2}

Câu 4 Giải:

Gọi số phải tìm là x.

Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. 

Þ x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n . 

Do đó x = 60.n – 2 ; (n = 1; 2; 3..)

Mặt khác x11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3. Ta thấy n = 7 thì x = 418 11

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm) 

a). (300 < 700)

Þ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

Þ = 700 - 300 = 400

 (700 < 1100)

Þ Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot

 Þ = 1100 - 700 = 400

b). (300 < 1100)

z

x

O

y

t

300

Þ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot

Þ = 1100 - 300 = 800

Theo trên, = 400

Þ < (400 < 800)

Þ Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot

c). Theo trên:

Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

 = 400; = 400

Þ Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 Chứng minh rằng : +++...+< 1

Ta có <=-

 <=-

 ...

 <=- 

Þ ++...+ <-+-+ ...+- = 1- <1 

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.