Đề thi khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 6 – Năm học 2012-2013 – Phòng GD & ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

 THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN 6

Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)

Bài 1 (3 điểm). Thực hiện phép tính

a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + ....... + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 

b) So sánh P và Q

 Biết P = và Q = 

Bài 2. (1 điểm).

 Tính N = 	

Bài 3 (4 điểm). 

	a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3.

	 Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3.

b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 và B = 32013 : 2.

 Tính: B – A.

Bài 4 (4 điểm)

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. 

Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1

Bài 5 (4 điểm).

	 a) Tìm số tự nhiên x sao cho 

	 b) Cho 	

 Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.

Bài 6. (4 điểm).

 Cho , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.

Tính BD.

 b) Biết 	 = 850, = 500. Tính .

 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 

Họ và tên thí sinh:. ...................... Số báo danh :

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6

Bài

Nội dung

Điểm

Bài 1 (3đ)

Thực hiện phép tính

a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + ....... + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 

Nhận xét : Tổng - hiệu trên có 504 số 

N = (1- 5 – 9 +13) + (17 – 21 – 25 + 29)+......+ (2001 – 2005 – 2009 + 2013)

 = 0 + 0 ++ 0 

 = 0

b) So sánh P và Q

 Biết P = và Q = 

Q = = ++ 

 + 

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q

 Kết luận: P > Q

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Bài 2(1đ)

 Tính N = 

 N = 

0.25đ

0.75đ

Bài 3 (4 đ) 

 a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3.

	 Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3.

- Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho được các số dư là 0 hoặc là 1	

- Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2, điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3

Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng chia hết cho 3

b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 và B = 32013 : 2.

 Tính: B – A.

 2B = 32013 

3A = 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 + . + 32013 

 2A = 3A – A = 32013 - 1

2B – 2A = 32013 - 32013 + 1 vậy B-A = 

0.5đ

0.75đ

0.75đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Bài 4 (4đ)

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. 

Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) 11 ; (a-1) 4 ; (a-11) 19.

 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19. 

 (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19. 

Do 4 ; 11 ; 19 là 3 số nguyên tôt cùng nhau, 

 nên a +27 nhỏ nhất là BCNN (4 ;11 ; 19 ) . 

Từ đó tìm được : a = 809

 b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1

x2 – 1 = 6y2 6y2 = (x-1).(x+1) 2 , do 6y2 2 

Mặt khác x-1 + x +1 = 2x 2 (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp

 (x-1).(x+1) 8 6y2 8 3y2 4 y2 4 y 2 

 y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5. Kết luận

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Bài 5 (4đ)

a) Tìm số tự nhiên x sao cho 

Do x là số tự nhiên nên 2x -1 là số lẻ . nhận các giá trị 1 hoặc 3 

Vậy 2x- 1 = -3 , x = -1 

 2x- 1 = -1 , x = 0 

 2x- 1 = 1 , x = 1

 2x- 1 = 3 , x = 2 

 b) Cho 	

 Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.

Nhận xét : Tổng có 2012 số hạng

Vậy B 

 = 2013( 1 +1+1+..+1) 2013

 Kết luận B chia hết cho 2013

0.5đ

0.5đ

 0.5đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.25đ

Bài 6 (4đ )

 Cho , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.

y

C

A

B

D

x

.

a) Tính BD

 Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

A nằm giữa D và B

 BD = BA + AD = 5,5 + 3 = 8,5 (cm)

b) Biết = 850, = 500. Tính .

- Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 

Xét 2 trường hợp

* Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

Suy ra: AK + KB = AB

 KB = AB – AK = 5,5 – 1 = 4,5 (cm)

* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

- Suy ra: KB = KA + AB

 KB = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) 

 * Kết luận: Vậy KB = 4,5cm hoặc KB = 6,5cm 

0.5đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.5đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.

 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

 - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. 

 - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).