Chuyên đề Toán 6 (bồi dưỡng học sinh giỏi) dãy số viết theo qui luật

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 (BD HSG)

DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết

kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

... ... ...

Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k  1) ta có Sk= k 2 (2)

Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1 ta có

1+3+5 +... + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1)

Vì k2 + (2k +1) = (k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + ... + ( 2n -1) = n2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

1, 1 + 2+3 + .... + n = 2

)1( nn

2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 6

)12)(1(  nnn

3, 13+23 + ..... + n3 =

2

2

)1(





 nn

4, 15 + 25 + .... + n5 = 12

1 .n2 (n + 1) 2 (2n2 + 2n – 1)

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

II. Phương pháp khử liên tiếp:

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên

tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

.... .... .....

an = bn – bn+ 1

Khi đó ta có ngay:

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 )

= b1 – bn + 1

Ví dụ 2: Tính tổng:

S = 100.99

1.......13.12

1

12.11

1

11.10

1 

Ta có : 11

1

10

1

11.10

1  , 12

1

11

1

12.11

1  , . .., 100

1

99

1

100.99

1 

Do đó :

S = 100

9

100

1

10

1

100

1

99

1.......12

1

11

1

11

1

10

1 

 Dạng tổng quát

Sn = )1(

1......3.2

1

2.1

1

 nn (n > 1)

= 1- 11

1

 n

n

n

Ví dụ 3: Tính tổng

Sn = )2)(1(

1......5.4.3

1

4.3.2

1

3.2.1

1

 nnn

Ta có Sn = 











 



  )2)(1(

1

)1(

1

2

1........4.3

1

3.2

1

2

1

3.2

1

2.1

1

2

1

nnnn

Sn = 







 )2)(1(

1

)1(

1......4.3

1

3.2

1

3.2

1

2.1

1

2

1

nnnn

Sn = )2)(1(4

)3(

)2)(1(

1

2.1

1

2

1











 nn

nn

nn

Ví dụ 4: Tính tổng

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )

Ta có : 1! = 2! -1!

2.2! = 3 ! -2!

3.3! = 4! -3!

..... ..... .....

n.n! = (n + 1) –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!

= (n+1) ! - 1! = (n+ 1) ! - 1

Ví dụ 5 : tính tổng

Sn =  222 )1(

12.......)3.2(

5

)2.1(

3



 nn

n

Ta có :   ;)1(

11

)1(

12

222 



iiii

i i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do đó Sn = ( 1- 











  22222 )1(

11.....3

1

2

1)2

1

nn

= 1- 22 )1(

)2(

)1(

1



 n

nn

n

III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

Ví dụ 6 : Tính tổng

S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4)

Ta viết lại S như sau :

S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )

S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 )

=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)

Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101

 S = 2101-1

Ví dụ 7: tính tổng

Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p 1)

Ta viết lại Sn dưới dạng sau :

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )

Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n )

 Sn = 1+p ( Sn –pn )

 Sn = 1 +p.Sn –p n+1

 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1

 Sn = 1

11





p

P n

Ví dụ 8 : Tính tổng

Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p  1)

Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1

= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1

= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1

= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1

p.Sn=Sn- 1

1

)1(1

1  

 nn PnP

P ( theo VD 7 )

Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - 1

11





P

pn

 Sn = 2

11

)1(

1

1

)1(





 

P

p

p

Pn nn

IV. Phương pháp tính qua các tổng đã biết

 Các kí hiệu : n

n

i

i aaaaa 



......321

1

 Các tính chất :

1,   

  



n

i

n

i

n

i

iiii baba

1 1 1

)(

2, 





n

i

i

n

i

i aaaa

11

.

Ví dụ 9 : Tính tổng :

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)

Ta có : Sn =  

 



n

i

n

i

n

i

n

i

iiiiii

11 1

22

1

)()1(

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

Vì :

6

)12)(1(

2

)1(....321

1

2

1













nnni

nnni

n

i

n

i (Theo I )

cho nên : Sn = 3

)2)(1(

6

)12)(1(

2

)1(  nnnnnnnn

Ví dụ 10 : Tính tổng :

Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)

ta có : Sn =  

 



n

i

n

i

iiii

1 1

2 )3()13(

= 





n

i

n

i

ii

11

23

Theo (I) ta có :

Sn = )1(2

)1(

6

)12)(1(3 2  nnnnnnn

Ví dụ 11 . Tính tổng

Sn = 13++23 +53 +... + (2n +1 )3

ta có :

Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]

= [13+23 +33 +43+ ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 )

Sn = 4

)1(8

4

)22()12( 2222  nnnn ( theo (I) – 3 )

=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2

= (n +1 )2 (2n2 +4n +1)

V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 )

 Cơ sở lý thuyết:

+ Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị ,

ta dùng công thức:

Số số hạng = (số cuối – số đầu) : (khoảng cách) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn

vị , ta dùng công thức:

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

Tổng = (số đầu – số cuối) .(số số hạng) :2

Ví dụ 12 :

Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132

Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m

A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

Ví dụ 13 : Tính tổng

B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009

số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503

B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515

VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )

Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1)

Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)

= k( k+1)  )1()2(  kk = k (k+1) .3 = 3k(k+1)

Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). 3

)1()2(  kk

= 3

)1)(1(

3

)2)(1(  kkkkkk *

 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)

=> 1.2 = 1.2.3 0.1.23 3

2.3.4 1.2.32.3 3 3

...................................

( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 1) 3 3

n n n n n nn n

 

     

S = 1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)3 3 3

n n n n n n     

Ví dụ 15: Chứng minh rằng:

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)

từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2)  )1()3(  kk

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

= k( k+1) ( k +2 ) .4

Rút ra: k(k+1) (k+2) = 4

)2)(1()1(

4

)3)(2)(1(  kkkkkkkk

Áp dụng: 1.2.3 = 4

3.2.1.0

4

4.3.2.1 

2.3.4 = 4

4.3.2.1

4

5.4.3.2 

..........................................................

n(n+1) (n+2) = 4

)2)(1()1(

4

)3)(2)(1(  nnnnnnnn

Cộng vế với vế ta được S = 4

)3n)(2n)(1n(n 

* Bài tập đề nghị:

Tính các tổng sau

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202

2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3

b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100

c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,....

5, S = 100.99

1........4.3

1

3.2

1

2.1

1 

6, S = 61.59

4....9.7

4

7.5

4 

7, A = 66.61

5......26.21

5

21.16

5

16.11

5 

8, M = 2005210 3

1.....3

1

3

1

3

1 

9, Sn = )2)(1(

1.....4.3.2

1

.3.2.1

1

 nnn

10, Sn = 100.99.98

2.....4.3.2

2

3.2.1

2 

11, Sn = )3)(2)(1(

1......5.4.3.2

1

4.3.2.1

1

 nnnn

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai

12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9

50 chữ số 9

13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14

Tính S100 =?

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến

dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070

b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820

c, 1 + 1 1 1 2 2013...... 13 6 10 x(x 1) 2015    

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2

b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60  3 ; 7; 15

c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 32015  13 ; 41

d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 + 1  5