Đế thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2012 – 2013 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI 

ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (3 điểm) 

	Cho . 

	Tính giá trị của biểu thức: .

Bài 2. (3 điểm)

	Giải phương trình: 

Bài 3. (3 điểm) 

	Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 

Bài 4. (3 điểm) 

	Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

 	Chứng minh rằng: 

Bài 5. (3 điểm) 

	Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. 	

Bài 6. (3 điểm)

	Cho tam giác ABC vuông tại C, có . Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 

Bài 7. (2 điểm)

	Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.

	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

--- Hết ---

Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh :................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Gồm 04 trang)

CÂU

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Câu 1

Cho .Tính giá trị của biểu thức: .

3.0

0.5

0.5

 là nghiệm của phương trình: 2x2+2x-1=0

0.5

0.5

0.5

 Vậy 

0.5

Câu 2

Giải phương trình: 

3.0

Đặt 

Thay vào pt(1) ta có pt: 

0.5

0.5

Với ta có pt: 

0.5

0.5

Với ta có pt: 

0.5

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm 

0.5

Câu 3

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 

3.0

Ta có (1) 

0.5

Đặt vì x, y nguyên nên a, b nguyên.

Khi đó ta có pt : với a, b nguyên 

0.5

 (vì b nguyên nên 2b - 1 

0.5

0.5

Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7 

0.5

Với a = 0, b = 1 ta có hệ 

0.25

Với a = 2, b = -3 ta có hệ 

KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1 

0.25

Câu 4

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

 Chứng minh rằng: 

3.0

Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được 

0.5

Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0

0.5

Suy ra a – b + c > 0.

0.5

Vậy 

0.5

Ta có 

0.5

Áp dụng BĐT Côsi ta có 

Vậy (1) đúng.

0.5

Câu 5

Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. 

3.0

Chứng minh được PM=PN

0.5

Gọi I=OAÇd, K=OAÇBC, chứng minh được IA=IK

 0.5

Có PA2 = AI2 + PI2

 = AI2 + PO2 – OI2 (Pitago)222

0.5

 = PO2 – (OI – AI)(OI + AI)

 = PO2 – OK.OA (vì IA = IK)

0.5

 = PO2 – OC222 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC)

0.5

 = PO2 – ON222 

 = PN2 ( vì tam giác PNO vuông tại N)

Vậy PA=PM=PN

0.5

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông tại C, có . Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 

3.0

Tính được 

0.5

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có:

 AD.BC+AB.CD=AC.BD

0.5

0.5

0.5

Vậy ta có:

0.5

0.5

Câu 7

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

2.0

Từ giả thiết chứng minh được 

0.5

Do a, b, c Î(0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c), 

0.25

Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có : 

0.25

Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có: 

0.25

 vì 

0.25

Theo CMT 

0.25

Dấu bằng xảy ra khi 

Vậy 

0.25

Hướng dẫn chung:

+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ, 

chính xác mới công nhận cho điểm.

+ Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa.

+ Chấm từng phần. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính đến 0.25 điểm

ST: Phạm Văn Vượng