Đề thi học kỳ II môn Toán Khối 6

BÀI TẬP 1

Bài 1. Cho biểu thức

P =

x+ 2

x

√

x− 1 +

√

x+ 1

x+

√

x+ 1

−

√

x+ 1

x− 1 .

a) Rút gọn P .

b) Chứng minh P <

1

3

.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y =

2mx−m+ 1 (m 6= 0).

a) Chứng minh rằng (P ) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm m sao cho |x1 − x2| = 2.

Bài 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau

a) 4x2 − 5x+ 1 = 0.

b)

3x+ y = 54x− 5y = 1

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, không trùng

với A và B. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt

nhau tại K.

a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.

b) Tứ giác ABCK là hình gì ? Tại sao ?

c) Xác định vị trí của điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.

Bài 5. Cho các dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S =

a√

bc (1 + a2)

+

b√

ca (1 + b2)

+

c√

ab (1 + c2)

1

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Ta có B̂ = ĈDK (có số đo bằng

1

2

sđCD

_

).

Các tam giác cân ABC và KDC có góc ở đáy bằng nhau (B̂ =

ĈDK) nên góc ở đỉnh bằng nhau, tức là ĈAD = ĈKD. Do đó tứ

giác ADCK là tứ giác nội tiếp.

b) ADCK là tứ giác nội tiếp nên ĈAK = ĈDK.

Ta lại có ĈDK = ĈBA = ÂCB nên ĈAK = ÂCB suy ra

AK‖BC. Vậy ABCK là hình thang.

c) Ta có AK‖BC nên:

A

B C

D

K

O

ABCK là hình bình hành⇔ CK‖AB ⇔ ÂCK = ĈAB (1)

Ta có ÂCK + ÂCD = K̂CD = B̂ = B̂CD + ÂCD nên ÂCK = B̂CD (2)

Từ (1), (2) suy ra để ABCK là hình bình hành, ta phải có B̂CD = B̂AC, tức là điểm D thuộc

cạnh AB sao cho B̂CD = B̂AC.

2