Đề thi học sinh giỏi – Năm học 2011 – 2012 môn Toán lớp 6

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012

 HUYỆN HOẰNG HOÁ 	 MÔN TOÁN - LỚP 6

Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức

a/ 

b/ 

Bài 2 (4.0 điểm) : 

a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

b/ Chứng minh rằng : 

Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : 

a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên.

b/ Tìm n để A là phân số tối giản

Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương

Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.

a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o

Tính ao

b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

Bài 6 (3.0 điểm) : Cho 

a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24

b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

---------------------------------- Hết ----------------------------------

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012

CÂU

NỘI DUNG

ĐIỂM

Câu 1

a/ 

2.0

b/ 

2.0

Câu 2

a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

=>(3y – 1)(2x + 1) = -55

=> (1)

Để x nguyên thì 3y – 2 Î Ư(-55) = 

+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28

+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại)

+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại)

+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại)

 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5

+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2

+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =(Loại)

Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là 

(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)

2.0

b/ Chứng minh rằng : 

Ta có

 (ĐPCM)

2.0

Câu 3

Cho biểu thức : 

a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên.

Ta có : 

(2)

A nguyên khi n – 3 ÎƯ(4) = => n Î

1.0

b/ Tìm n để A là phân số tối giản

Ta có : (Theo câu a)

Xét n = 0 ta có phân số A = là phân số tối giản

Xét n ¹ 0 ; 3 

Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3)

=> (n + 1) d và (n – 3) d

=> (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d => d = ±1 ; ±2; ±4

=> d lớn nhất bằng 4 => A không phải là phân số tối giản

Kết luận : Với n = 0 thì A là phân số tối giản

1.0

Câu 4

Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương

Ta có : 

Vì => a,b => 1 £ a- b £ 8

Để là số chính phương thì a – b = 1; 4 

+) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21

Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn

+) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 

Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn

Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73

3.0

Câu 6

Hình vẽ

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.

a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao

Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD

=> 

=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o

=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o

2.0

b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB

Ta có : 

Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

=> 

1.0

c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên

Vì nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD

=> 

Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o

1.0

Câu 6

Cho 

a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24

Ta có : 

 (1)

Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1

8 chia cho 3 dư 2.

Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3

Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)

Vậy A chia hết cho 3

Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24

1.5

b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0

Nên có chữ số tận cùng là 8

Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9

1.5

GV : Nguyễn Đức Tính – số 08 - Bào Ngoại - Đông Hương – TP Thanh Hoá