Một số định lý Hình học

1.Định lí Menelaus cho tứ giác: Đường thẳng d cắt các cạnh AB, BC, CD, DA. ABCD tại M, N, P, Q .

Kẻ 

2. Định lí Carnot: .H , I, K thứ tựnếu x; y; z là đg tvới AB, BC, CA qua H, I, K thì x; y; z động quy 

Thuận: x; y; z đồng quy thì 

 Ta có: 

Đảo: Kẻ 

Từ (1), (2) ta có đpcm

3. Đường tròn Euler: Chân các đg trung tuyến, đg cao, trung đ các đoạn thẳng nối trực tâm với 3 đỉnh là 9 điểm thuộc đg tròn tâm I

4. Đường thẳng Euler: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp O của tam giác thẳng hàng. 

Kẻ đường kính AD của (O) là hình bình hành

là trung điểm HDtrọng tâm G’ của AHD có 

Mà thẳng hàng (đpcm)

5. Định lí con bướm: Cho (O), dây AB, 2 dây CD, EF di động đi qua trung điểm I của AB.

DE, CF cắt AB tại M, N. CMR IM = IN

Kẻ C’D’ đối xứng với CD qua OI

CM tứ giác EC’IM nội tiếp (đpcm)

6.Định lí Steiner: nội tiếp (O). K thuộc cung BC nhỏ. M; N; P đối xứng với K qua BC, AB, CA. CMR M; N; P thẳng hàng.

7. Định lí Newton: Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) tại E; F; G; H. Khi đó HG, AC, EF đồng quy

Giả sử . Áp dụng định lí Menelaus cho và MEF

Áp dụng định lí Menelaus đảo chothẳng hàng hay HG, AC, EF đồng quy 

8. Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) tại E; F; G; H. Khi đó EG, AC, HF, BD đồng quy

Đặt 

Kẻ 

Đặt . CMTT

Mà AH=AE; CG=CFđồng quy

CMTT ta có đpcm.

9. Định lí Desargues: Nếu có AA’; BB’; CC’ đồng quy; thì P; Q; R thẳng hàng

Để Q; P; R thẳng hàng thì (Menelaus cho)

Menelaus cho 

Thật vậy: Áp dụng định lí Menelaus cho:

Hay P; Q; R thẳng hàng (đpcm).

10. Định lí Pascal: Lục giác ACEBFD nội tiếp có giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng