Toán 6 – Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

 Toán 6 – Năng khiếu 

1 

BÀI 1. TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA 

I. Tìm một chữ số tận cùng 

1. Kiến thức cần nhớ : 

+ ...1 ...1

n

 ; ...0 ...0

n

 ; ...5 ...5

n

 ; ...6 ...6

n

 

+ 

4

...2 ...6 ; 

4

...4 ...6 ; 

4

...8 ...6 

+ 

4

...3 ...1 ; 

4

...7 ...1 ; 

4

...9 ...1 

+ 

2 1

...4 ...4

n

 ; 

2

...4 ...6

n

 ; 

2

...9 ...1

n

 ; 

2 1

...9 ...9

n

 

+ Một số chính phương thì không có tận cùng là 2 ; 3 ; 7 ; 8 

2. Một số ví dụ : 

Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của 324187 . 

187 

324 

; 1358

2008 

; 2

3456 

; 304

2014 

; 23

25 

; 52

35 

; 58

2013 

; 

999 ; 

765234 ; 

576579 

Giải: 

187

324

= (187

4

)

81 

 = 

81

...1 = ...1 

1358

2008 

= (1358

4

)

.501

 = 

501

...6 = ...6 

2

3456

 = (2

4

)

 864 

 =

864

...6 = ...6 

23

25

 = 23

4.6+1

 = 23. (23

4

)

6

= 23. 

6

...1 = 23. ...1 = ...3 

52

35

 = 52

4.8+3

 = 52

3

. (52

4

)

8

= ...8 . ...6 = ...8 

9

9 

 là một số lẻ nên 

999 = ...9 

7

65 = ...5 là một số lẻ nên 

765234 = ...4 

576 = ...6 là số chẵn nên 

576579 = ...1 

Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của : 

a) 

102 1028 2 ;A   b) 60 37942 351 ;B   c) 25 4 2157 24 13 .C    

Giải: 

a) 8102 =(84)25.82 = ...6 25.64= ...6 .64 = ...4 

2

102

 =( 2

4

)

25

.2

2 

 =16

25

.4 = ...6 .4 = ...4 

Vậy 102 1028 2 ...4 ...4 ...0A      

b) 60 37942 351 ...6 ...1 ...5B      . 

c) 25 4 2157 24 13 ...7 ...6 ...3 ...0.C        

Ví dụ 3. Chứng minh: 

22 1 5( 1; )

n

A n n    ; 42 4 10 ( 1; ).

n

B n n    

Giải: 

 Toán 6 – Năng khiếu 

2 

2 2 22 4.2 22 1 2 1 16 1 ...6 1 ...6 ...5 5.

n n n n

A

  

          

2 24 4.4 42 4 2 4 16 4 ...6 4 ...0 10.

n n n

B

 

         

 2. Tìm hai chữ số tận cùng 

1. Kiến thức cần nhớ : 

 ...01 ...01

n

 ; ...25 ...25

n

 ...76 ...76

n

 

 Các số 320 ( hoặc 815) ,74 ,512 ,992 có tận cùng bằng 01 

 Các số 220 ,65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận cùng bằng 76 

 Số 26n (n>1) có tận cùng bằng 76 

2. Một số ví dụ : 

 Ví dụ 1:Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 

Giải: 

 Ta thấy :74 =2401 ,số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 

01. Do đó : 

 7

1991

 = 7

1988

.7

3

 = (7

4

)

497.343 = (01)497.343 

 =(.01).343 =.43 

 Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43 

Ví dụ 2:Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 

 Giải: 

 Ta có :2

10

=1024 

 ( 2)

100

=(2

10

)

10

 =(1024)

10

 =(1024

2

)

5

 =(.76)5 =.76 

Vậy hai chữ số tận cùng của 100 là 76 

Ví dụ 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của các số sau: 

51

100

 51

101

 51

2n

; 51

2n+1 

99

98 

 ; 99

99 

99

2n

; 99

2n+1 

6

100

; 6

101

 ; 6

5n

 ; 6

5n+1

3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên. 

1. Kiến thức cần nhớ : 

 Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng 

bằng 001 ,376 ,625 

 Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625. 

2. Một số ví dụ : 

 Ví dụ 1:Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992 

 Giải: 

5

1992

 =(5

4

)

498

 =625

498

 =0625

498

 =...0625 

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8 

 Toán 6 – Năng khiếu 

3 

 Giải: 

Ta thấy : 26 5= 11881376 

Do đó 261570=(265)314= ...376 314= ...376 

Mà 376 chia hết cho 8 

Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 

Vậy 261570 chia hết cho 8 

Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng của các số sau: 

2

3n

. 47

n

 2

3n+1

. 47

n+2 45

n

 + 375 2001

n

 + 2

3n

 . 47

n

 + 25

2n 

 Giải: 

2

3n

. 47

n

 = 8

n

.47

n 

 = 376

n 

 = ...376 

BÀI TẬP VỀ NHÀ 

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n: 

a) 74n – 1 chia hết cho 5 

b) 34n+1 +2 chia hết cho 5 

c) 24n+1 + 3 chia hết cho 5 

d) 92n+1 + 1 chia hết cho 10 

Bài 3. Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10 

Bài 4. Có tồn tại số tự nhiên n nào để n2 + n +2 chia hết cho 5 hay không? 

Bài 5. Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng: 

a) Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn thì n và 6n có chữ số tận cùng như nhau 

b) Nếu n tận cùng bằng chữ số lẻ khác 5 thì n4 tận cùng là 1. Nếu n tận cùng bằng chữ số 

chẵn khác 0 thì n4 tận cùng bằng 6 và 6n có chữ số tận cùng như nhau 

c) Số n5 và n có chữ số tận cùng như nhau