Toán 6 – Bài 2: Một số phương pháp chứng minh chia hết

 Toán 6 – Năng khiếu 

 1 

BÀI 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT – PHẦN I 

PHẦN 1 : TÓM TẮT LÝ THUYẾT 

I. Định nghĩa phép chia 

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao 

cho: a = bq + r với 0  r   b 

Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. 

Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b. Ký hiệu: a  b 

 Vậy a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq 

II. Cỏc tớnh chất : 

1. Nếu a  b và b  c  a  c 

2. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b 

3. Nếu a  b và c  b  a  c  b 

4. Nếu a + b  c và a  c  b  c 

5. Nếu a  b  an  bn 

6. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b 

7. Nếu a  b và c  d  ac  bd 

8. an – bn  a – b ( với a b, nN) 

9. an – bn  a + b ( với a -b, n chẵn ) 

10. an + bn  a + b ( với a -b, n lẻ ) 

11. Trong n số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n 

III. Một số dấu hiệu chia hết 

1 1 0...n nN a a a a 

1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 

+ N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8} 

+ N  5  a0  5  a0{0; 5} 

+ N  4 (hoặc 25)  1 0a a  4 (hoặc 25) 

+ N  8 (hoặc 125)  

2 1 0a a a  8 (hoặc 125 

2. Dấu hiệu chia hết cho 3 ; 9; 11 

+ N  3 (hoặc 9)  a0+a1++an  3 (hoặc 9) 

+ N  11  [(a0+a1+) - (a1+a3+)]  11 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 2 

IV. Đồng dư thức 

1. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số tự nhiên a và b cho cùng số dư khi chia 

cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m. 

 Ký hiệu: a  b (modun) 

Vậy: a  b (modun)  a - b  m 

2. Các tính chất: 

1. Nếu a  b (mod m) và c  d (mod m)  a+c  b+d (mod m) và a-c  b-d (mod m) 

2. Nếu a  b (mod m)  a+c  b+c (mod m) 

3. Nếu a  b (mod m) và c  d ((mod m)  ac  bd (mod m) 

4. Nếu a  b (mod m)  ac  bc (mod m) 

5. Nếu a  b (mod m)  an  bn (mod m) 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 3 

PHẦN II: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT 

1. Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT 

Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45 

Giải 

 Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 

để a56b  45  a56b  5 và 9 

 Xét a56b  5  b  {0 ; 5} 

 Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9 

 a + 11  9 

 a = 7 

 Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 5  9 

 a + 16  9 

 a = 2 

Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 

 a = 2 và b = 5 ta có số 2560 

Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó 

chia hết cho 9. 

Giải 

Gọi số đã cho là a 

Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư 

 5a - a  9  4a  9 mà (4 ; 9) = 1 

 a  9 (Đpcm) 

Ví dụ 3: CMR số 

1 sè 81

 111 111  81 

Giải 

Ta thấy: 111111111  9 

Có 

1 sè 81

 111 111 = 111111111(1072 + 1063 +  + 109 + 1) 

Mà tổng 1072 + 1063 +  + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9  9 

 1072 + 1063 +  + 109 + 1  9 

Vậy: 

81 

111 111 

sè 1

  81 (Đpcm) 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 4 

Bài tập về nhà 

Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho 

a) 34 5x y  36 

b) 7 36 5x y  1375 

Bài 2: Chứng minh rằng : 10n + 72n – 1  81 

Hướng dẫn - Đáp số 

Bài 1: a) x = 4 và y = 2 

 x =0 và y = 6 

 b) 1357 =125.11 

7 36 5x y  125  6 5y  125  y = 2 

7 3625x  11 (5+6+x)-(2+3+7) 11  x=1 

Bài 2: 10

n

 + 72n – 1=10n – 1 + 72n = 

n c n c

99 9 72 9(11 1 8 ) 81n n    

sè 9 sè 1

2. Phƣơng pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH 

Sử dụng tính chất “Trong n số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n” 

Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 

 b. Tích của 3 tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. 

 c. Tích của 2 số chẵn liờn tiếp chia hết cho 8 

Giải 

a) Trong 2 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn 

 Số chẵn đó chia hết cho 2. 

Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2. 

b) + Tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 

 tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 

 + Trong 3 sô tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3. 

 tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (2; 3) = 1. 

Vậy tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6. 

c. Tích hai số chẵn liên tiếp : 2k.(2k+2) (kN) 

 = 4.k(k+1)  4. 2= 8 

Ví dụ 2: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n4 

Giải 

Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 

Ta có n

4

 - 4n

3

 - 4n

2

 + 16n = 16k

4

 - 32k

3

 - 16k

2

 + 32k 

 = 16k(k

3

 - 2k

2

 - k + 2) 

 = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 5 

Với k  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia 

hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4.  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8 

Mà (k - 2) (k - 1)k  3 và (3,8)=1 

 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  3.8= 24 

 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16.24) 

Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n  4 

3. Phƣơng pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA 

Để chứng minh một biểu thức A(n) chia hết cho một số p (p0). Ta có thể xét mọi 

trường hợp về số dư khi chia n cho p. 

Ví dụ 1: CMR: Với  n  N 

Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia hết cho 6 

Giải 

 Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với  n  N  A(n)  2 

 Ta chứng minh A(n)  3 

Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + r (k  N) với r  {0; 1; 2} 

- Với r = 0  n = 3k  n  3  A(n)  3 

- Với r = 1  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3 

- Với r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3 

 A(n)  3 với  n mà (2, 3) = 1 

Vậy A(n)  6 với  n  N 

Ví dụ 2: 

a) Tỡm số dư của phộp chia một số chính phương cho 3 

b) Chứng minh rằng: Không tồn tại n N để 2 1 300...0 n 

c) Chứng minh rằng: tổng lũy thừa chẵn của 3 số tự nhiờn liờn tiếp khụng thể là số chính 

phương. 

Giải 

a) Số chính phương có dạng n2 (n N) . Xét các trường hợp số dư khi chia n cho 3, 

Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + r (k  N) với r  {0; 1; 2} 

- Với r = 0  n = 3k  n2 = (3k)2  3  A(n)  3 

- Với r = 1  n = 3k + 1  n2 = (3k+ 1)2 = (3k+1)(3k+1) 

= 3k (3k+1) + 1(3k+1) 

= 9k

2

+ 3k + 3k + 1 

= 9k

2

+ 6k + 1  A(n) chia cho 3 dư 1 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 6 

- Với r = 2  n = 3k + 2  n2 = (3k+ 2)2 = 9k2+ 12k + 4  A(n) chia cho 3 dư 1 

Vậy một số chính phương khi chia cho 3 số dư có thể là 0 hoặc 1. 

Nhận xét: Một số có dạng 3k + 2 không thể là số chính phương. 

b) Ta có: 300....0 có tổng các chữ số bằng 3 nên 300....0  3 

mà với mọi n N thì n2 chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 nên n2 + 1 chia cho 3 dư 1 

hoặc 2 

 Vậy không tồn tại n N để 2 1 300...0n   

c) Tổng lũy thừa chẵn của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng: 

 (n-1)

2k 

 + n

2k

 + (n+1)

2k 

 với n, k N; n1) 

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3, hai số còn lại có dạng 3k+1 và 

3k+2 nên tổng lũy thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp chia cho 3 có dư là 2 nên không 

thể là một sô chính phương 

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1  7 

Giải 

Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + r (k  N); r  {0; 1; 2} 

 Với r = 0  n = 3k ta có 

2

n

 - 1 = 2

3k

 - 1 = 8

k

 – 1k  (8 - 1) = 7 

 với r =1  n = 3k + 1 ta có: 

2

n

 - 1 = 2

8k +1

 - 1 = 2.2

3k

 - 1 = 2(2

3k

 - 1) + 1 

mà 2

3k

 - 1  7  2n - 1 chia cho 7 dư 1 

 với r = 2  n = 3k + 2 ta có : 

2

n

 - 1 = 2

3k + 2

 - 1 = 4(2

3k

 - 1) + 3 

mà 2

3k

 - 1  7  2n - 1 chia cho 7 dư 3 

Vậy 23k - 1  7  n = 3k (k  N) 

Bài tập về nhà 

Bài 1: CMR: 

a) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24 

b) Tích của 3 số chẵn liờn tiếp chia hết cho 48 

Bài 2: CMR : n(n + 1)(2n + 1)  6 

Bài 3: CMR: Với  n lẻ thì: 

a) n2 + 4n + 3  8 

b) n3 + 3n2 - n - 3  48 

Bài 4: CMR: An = n(n

2

 + 1)(n

2

 + 4)  5 Với  n  N 

Bài 5: 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 7 

a) Tỡm số dư của phộp chia một số chính phương cho 4; 5 

b) Chứng minh rằng: tổng bỡnh phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính 

phương 

Hướng dẫn - Đáp số 

Bài 1: a) Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8 

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 

b) 2k (2k + 2) (2k +4) = 8k(k+1)(k+2)  8.6 =48 

Bài 2: n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)] 

= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  6 

Bài 3: a) n

2

 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3)  8 (vì (n + 1) , (n + 3) là 2 số chẵn liên tiếp) 

b) n

3

 + 3n

2

 - n - 3 = n

2

(n + 3) - (n + 3).1 

= (n

2

 - 1) (n + 3) 

= (n + 1) (n - 1) (n + 3) 

= (2k + 4) (2k + 2) 2k (với n = 2k + 1, k  N) 

= 8k(k + 1) (k +2)  8.6 = 48 

Bài 4 

Lấy n chia cho 5  n = 5k+ r r  {0; 1; 2; 3; 4} 

 r = 0  n  5  A(n)  5 

 r = 1, 4  n2 + 4  5  A(n)  5 

 r = 2; 3  n2 + 1  5  A(n)  5 

 A(n)  5 với  n  N 

Bài 5: tương tự ví dụ 2.