Toán 6 – Bài 3. một số phương pháp chứng minh chia hết

 Toán 6 – Năng khiếu 

 1 

BÀI 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT - PHẦN II 

4. Phƣơng pháp 4: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG 

Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi 

hạng tử đều chia hết cho k. 

Ví dụ 1 Cho 2 20042 2 ..... 2A    . Chứng minh rằng: 

 a) 6A b) 7A c) 30A 

Giải 

Ta có 

2 20042 2 ..... 2A     2 

và 

2 3 4 2003 2004 3 2003(2 2 ) (2 2 ) ..... (2 2 ) 2(1 2) 2 (1 2) ... 2 (1 2)             A  3 

Mà (2;3) = 1 nên A 2.3 tức là 6A 

Ví dụ 2: CMR: Với  n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A = 20n + 16n - 3n - 1  323 

Giải 

Ta thấy 323 = 17.19 mà (17;19) = 1 (1) 

Biến đổi : A = (20n - 3n) + (16n – 1n) 

20

n

 - 3

n

  (20-3) = 17 

16

n

 – 1n  (16 + 1) 17 (do n chẵn) 

 A  17 (2) 

Mặt khác : A = (20n - 1) + (16n - 3n) 

20

n

 - 1  (20 - 1) = 19 

16

n

 - 3

n (16 + 3)= 19 (do n chẵn) 

 A  19 (3) 

Từ (1), (2) và (3)  A  323 

Ví dụ 3: CMR: n3 + 11n  6 với  n  N*. 

Giải 

Ta có: n

3

 + 11n = n

3

 - n + 12n = n(n

2

 - 1) + 12n = n(n + 1)(n - 1) + 12n 

Vì n – 1; n ; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp 

 n(n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6 

Vậy n3 + 11n  6 

Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên n sao cho: 

a) 18n + 3  7 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 2 

b) 3n + 7  n +1 

Giải 

a) 18n + 3  7  14n + 4n + 7 – 4  7 

 4n – 4  7 

 4(n – 1)  7 

Mà (4,7) =1 nên n – 1  7 

Vậy n = 7k +1 (kN) 

b) 3n+ 7  n + 1  3 (n + 1) + 4  n + 1 

 4  n + 1 

 n + 1  {1; 2; 4} 

  n  {0; 1; 3} 

5. Phƣơng pháp 5: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC 

Giả sử chứng minh A(n)  p 

(1)

 với n  a 

 Bước 1: Ta chứng minh (1) đúng với n = a tức là chứng minh A(a)  p 

 Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là chứng minh A(k)  p với k  a 

 Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh A(k+1)  p 

 Bước 3: Kết luận A(n)  p với n  a 

Ví dụ : Chứng minh A(n) = 16

n

 - 15n - 1  225 (1) với  n  N* 

A(n) = 16

n

 - 15n - 1  225 (1) với  n  N* 

Giải 

 Với n = 1  A(n) = 0  225 vậy n = 1 thì (1) đúng 

 Giả sử (1) đúng với n = k  1 nghĩa là A(k) = 16

k

 - 15k - 1  225 

 Ta phải CM (1) đúng với n = k+1 tức là A(k+1) = 16

 k+1

 - 15(k + 1) - 1  225 

Thật vậy: A(k+1) = 16

 k+1

 - 15(k + 1) - 1 

 = 16.16

k

 - 15k – 15.1 – 1 

=16.16

k

 - 15k – 16 

 = (16

k

 - 15k - 1) + 15.16

k

 - 15 

 = (16

k

 - 15k - 1 ) + 15.(16

k

 – 1) 

 = A(k) + 15.(16

k

 – 1) 

Ta có A(k)  225 (giả thiết quy nạp) 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 3 

 và 16

k

 – 1 = 16k – 1k  (16 – 1) = 15 nên 15.(16k – 1)  15.15=225  A(k+1)  225 

Vậy A(n) = 16

n

 - 15n - 1  225 (1) với  n  N* 

Bài tập về nhà 

Bài 1: CMR: 

a) 

2 1003 3 ... 3   A  120 

b) B = 62n + 19n - 2n+1 17 với n  N 

c) C = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  2 

d) D= 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1  59 với n  N 

Bài 2: Tỡm số tự nhiờn n để : 

a) 7n  n + 3 

b) 4n – 5  13 

Bài 3: Chứng minh rằng: 

a) A(n) = 5

n

 + 2.3

n-1

 +1  8. với n  . 

b) B(n) =3

3n+3

 - 26n - 27  169 với n  * 

c) C(n) = 4

n

 + 15n – 1  9 với n  * 

Hướng dẫn - Đáp số 

Bài 1: 

a) A = (3 + 3

2

 + 3

3

 + 3

4

) + ....+ (3

97

 + 3

98

 + 3

99

 + 3

100

) 

= 3(1+ 3 + 3

2

 + 3

3

 ) + ....+ 3

97

 (1+ 3 + 3

2

 + 3

3

 ) 

= 3.40 + .... + 3

97

 40 3.40 = 120 

b) B = (6

2n 

- 2

n 

)+ (19

n 

 - 2

n

) = (36

n 

- 2

n 

)+ (19

n 

 - 2

n

)  17 

c) Có 72 = 9.8 và n = 2k (k  N) 

 C =3n + 63 = 32k + 63 = 9k + 63  9 

 C =3n + 63 = (32k – 1) + 64 = (9k - 1k) + 64  8 

 (8, 9) = 1 

 C  8.9  C  72 

d) 5

n+2

 + 26.5

n

 + 8

 2n+1

 = 5

n

(25 + 26) + 8

 2n+1

= 5

n

(59 - 8) + 8.64

 n

 = 5

n

.59 - 5

n

 .8 + 8.64

 n

=5

n

.59 + 8 (64

n

 - 5

n

)  59 

 Toán 6 – Năng khiếu 

 4 

Bài 2: a) n  {0; 4; 17} 

b) n = 13k -2 (kN*) 

Bài 3 : a) 

 Xét n = 1  A1 = 5

1

 + 2 .3

1-1

 + 1 = 8  8 

 Giả sử An  8 với mọi n = k nghĩa là Ak = 5

 k 

+ 2 . 3

 k-1 

 + 1  8 

 Ta sẽ chứng minh An  8 với mọi n = k + 1 

 Thật vậy: 

 A k + 1 = 5

 k+1

 + 2 . 3

k

 + 1 

 = 5. 5

k

 + 6 . 3

 k – 1 

+ 1 

 = 5

k

 + 2. 3

 k – 1 

 + 1 +4. 5

 k

 + 4. 3

 k – 1

 =5

k

 + 2. 3

 k – 1 

 + 1 + 4( 5

k 

+ 3 

k – 1

 ) 

Vì 5

k

 + 2. 3

 k – 1 

 + 1  8 

Mặt khác: 5k + 3 k – 1 là số chẵn 5k + 3 k – 1  2 

  4( 5k + 3 k – 1 )  8 

  A k+ 1  8  đpcm. 

b) B(k+1) =(3

k+3

 – 26k – 27) + 26(27k+1 –1) 169 với n  * 

c) C(k+1) = 4(4

k

 + 15k – 1 ) - 45k + 18  9